Why are there differences between the first and second Dibros?

Unfortunately I do not have time to translate this. However, if you can make your way through this explanation of the Kli Yakar, I hope you will find this to be a satisfactory explanation for the changes from what appears in Shmos 20 to what appears in the second version of the Decalogue in Devarim 5.
Take it away, Kli Yakar!

כלי יקר שמות פרשת יתרו פרק כ פסוק ח

זכור את יום השבת לקדשו. ראה ראינו ליתן טוב טעם ודעת על השינוים שנמצאו בדברות ראשונות ואחרונות.

א) בראשונות כתיב זכור את יום השבת ובאחרונות כתיב שמור את יום השבת.

ב) בראשונות לא כתיב כאשר צוך ה' אלהיך ובאחרונות כתיב בשבת ובכיבוד אב ואם כאשר צוך ה' אלהיך.

ג) בראשונות נתן טעם לשמירת השבת כי ששת ימים עשה ה' וגו' ובאחרונות נתן טעם אחר וזכרת כי עבד היית וגו'.

ד) בראשונות לא הזכיר בשבת שור וחמור ובאחרונות אמר ושורך וחמורך וכל בהמתך.

ה) בראשונות כתיב למען יאריכון ימיך ובאחרונות הוסיף למען ייטב לך.

ו) בראשונות כתיב לא תחמוד ובאחרונות הוסיף לא תתאוה.

ז) בראשונות לא הזכיר שדהו ובאחרונות הוסיף שדהו.

ח) בראשונות הקדים בית רעך לאשת רעך ובאחרונות הקדים אשת רעך לבית רעך.

ט) בראשונות כתיב עד שקר ובאחרונות אמר עד שוא.

י) בראשונות לא תנאף לא תגנוב כולם בלא וי"ו ובאחרונות כולם בוי"ו:

בשכבר יצאו מפרשי התורה ללקוט טעמים מפוזרים, ולא מצאו דרך אחד אשר יספיק לכל הספיקות הנזכרים, הלא קרוב לשמוע הצעה אחת קצרה לקוחה מדברי חז"ל (ילקוט רמז תתקנא) שחזר הקדוש ברוך הוא על כל האומות אם ירצו לקבל התורה, ועשו לא רצה לקבלה בעבור לא תרצח, וישמעאל בעבור לא תגנוב, ועמון ומואב בעבור לא תנאף. שמע מינה ששמעו תחילה כל האומות כל עשרת הדברות וכאשר אמרה כל אומה לא חפצתי לקחתה מאז מסרה לישראל, ועל כן נמצאו כל השינוים הללו בין דברות ראשונות לאחרונות, כי הדברות הראשונות נאמרו בלשון אשר השמיע ה' לכל האומות אף על פי שנאמרו בנוכח לישראל כמו שמשמע מן לשון אשר הוצאתיך מארץ מצרים, מכל מקום אילו היו האומות רוצים היו מקבלים גם המה עליהם ועל זרעם כל הדברים אשר צוה ה' לישראל, דרך משל יצחק צוה ליעקב שלא יקח אשה מבנות כנען, וירא עשו כי רעות בנות כנען בעיני יצחק אביו וילך עשו אל ישמעאל וגו', אף על פי שיצחק לא צוה לעשו כלום מכל מקום אחר שראה כי דעת אביו אינה נוחה מן בנות כנען רצה גם הוא למלאות רצון אביו למצוא חן בעיניו, כך כל האומות כששמעו כל הדברות אשר צוה ה' לישראל וראו כי רצה ה' במצוות אלו מן הדין היה שיקבלו גם המה לשמור ולעשות ככל אשר צוה ה' לישראל, ועל כן אמר הקדוש ברוך הוא דברות הראשונות באותו ענין שלא ימצאו האומות שום פתחון פה לטעון ולערער עליהם בשום צד ועל כן נאמרו דברות ראשונות בקולי קולות והיה הקול הולך מסוף העולם ועד סופו כדי שישמעו כל האומות ויקבלו מהם כל דבר הנאות לכולם בשוה, ולפי שמיאנו לקבלם מחמת אותן מצוות פרטיות שהם כנגדם כמו לא תרצח לא תנאף על כן אמר אחר כך דברות שניות בחשאי לישראל לבד:

ובזה יתורצו כל השינוים הללו, בראשונות אמר זכור את יום השבת, לא רצה לומר שמור את יום השבת כדי שלא ליתן פתחון פה לאומות לומר איך הוא מצוה אותנו על השמירה מכל מלאכה הלא כבר נאמר לבני נח (בראשית ח כב) יום ולילה לא ישבותו וחז"ל למדו מכאן גוי ששבת חייב מיתה (סנהדרין נח ב), על כן נאמר זכור את יום השבת, לומר כי אפילו מי שאינו בשמירה לפחות ישנו בזכירה כי כל האומות חייבים לזכור את יום השבת כדי לקבוע בלבם אמונת חידוש העולם אשר יתן עדות ה' נאמנה על מציאות ה' יתברך כי בכלל שבע מצוות של בני נח הוא שלא יעבדו עבודה זרה, ואף על פי שהאומות לא יוכלו לקבל ציווי לא תעשה כל מלאכה מכל מקום יכולים הם לקבל עליהם מצות הזכירה אשר גם המה חייבים בה להיות חידוש העולם לנגד עיניהם לזכרון. ומטעם זה הוצרך ליתן טעם בדברות ראשונות כי ששת ימים עשה ה' וגו' כי זה טעם לזכור חידוש העולם ואילו היה נותן טעם וזכרת כי עבד היית וגו' היו אומרים האומות אנחנו לא היינו עבדים במצרים על כן אין אנו צריכין לקבל השבת לפיכך נתן להם טעם כי ששת ימים עשה ה' וגו'. כי טעם זה מספיק לשניהם לישראל ולאומות ואל תשיבני ממה שנאמר אנכי ה' אלהיך אשר הוצאתיך מארץ מצרים שמא יאמרו האומות אותנו לא הוציא ממצרים ועל כן אין אנו חייבים לקבלו לאלהות, תשובה לדבר אין הפירוש שבעבור אותה הוצאה חייבים לקבלו שהרי בלאו הכי חייבים לקבלו מצד כי הוא ברא שמים וארץ וכל אשר בהם, ומה שתלה הדבר בהוצאה זו לומר שאפילו הוצאה זו לבד תספיק לשעבד אותך לי, וזהו שפירש רש"י כדאי היא ההוצאה שתהיו משועבדים לי, מדקאמר כדאי היא ההוצאה שמע מינה שאין זה עיקר הטעם:

אבל דברות שניות שנאמרו לישראל לבד נאמרו בלשון שמור. כי המה חייבים בזכירה ובשמירה מכל מלאכה על כן נתן הטעם וזכרת כי עבד היית וגו', כי זהו טעם על השביתה ממלאכה:

ויש אומרים, כי הנעלם מן זכר כשתכתוב זיי"ן כ"ף רי"ש סוף תיבות נפש והנעלם מן שמר כשתכתוב שי"ן מ"ם רי"ש סוף תיבות נשם רמז לתוספת נשמה שיש לכל איש מישראל ביום השבת ולפי דרכינו רמז לנשמה יתירה דוקא באותו ציווי הבא לישראל לבד אבל האומות אין בהם כי אם הנפש לבד בסוד רוח נפש נשמה כידוע ליודעי מדע על כן בא הרמז מלת נפש בתיבת זכור המשותף לשניהם:

באחרונות נאמר כאשר צוך ה' אלהיך, בשבת, ובכיבוד אב ואם. כי במרה נצטוו ישראל עליהם אבל לא האומות ואילו היה אומר כן בדברות הראשונות היה נותן פתחון פה לאומות לומר למה לא צוה גם לנו על שתי מצוות אלו קודם מתן תורה ויאמרו כאשר התחיל לצוות לישראל ולא לנו גם עתה אין רצונינו לקבל ועם מי שהתחיל יגמור:

בראשונות לא אמר למען ייטב לך, כי הראב"ע פירש למען ייטב לך זהו לעולם הבא שכולו טוב, ולמען יאריכון ימיך בעולם הזה, על כן לא רצה הקדוש ברוך הוא ליעד בדברות הראשונות לאומות העולם כי אם שכר העולם הזה אשר עין בעין יראה שכרו אתו ופעולתו לפניו, אבל אם היה מיעד להם שכר העולם הבא אשר עין לא ראתה ודאי לא ישמעו כי יאמרו הרוצה לשקר ירחיק עדיו ויאמרו מדהא ליתא גם הא ליתא ויהיו מסופקים גם בשכר של העולם הזה. אבל דברות אחרונות שנאמרו לישראל לבד יעד שכר העולם הבא כי המה מאמינים בני מאמינים ואינן מהרהרין אחרי ה' ומאמינים בכל יעודיו בין בזה בין בבא:

בדברות ראשונות לא הזכיר ושורך וחמורך כי הוא בכלל בהמתך, אבל בדברות אחרונות נאמר שורך וחמורך לדרוש מהם גזירה שוה שור שור לחסימה חמור חמור לפריקה (בבא קמא נד ב) כי כבר קיבלו ישראל כל הדברות ומצות פריקה וחסימה שנאמרו אחר מתן תורה, אבל האומות קודם ששמעו עשרת הדברות רצה הקדוש ברוך הוא לנסותם תחילה אם יקבלו עליהם דברות אלו ואם היו מקבלים עליהם הדברות היה מצוה להם אחר כך גם שאר המצוות וחסימה ופריקה גם כן, ועל כן לא היה לו לכתוב כאן ושורך וחמורך לגזירה שוה כי עדיין כל המצוות בספק אם יקבלום, אבל ישראל אמרו כל אשר דיבר ה' נעשה ונשמע היינו מה שיצוה לנו עוד:

בראשונות אמר עד שקר, ובאחרונות הוסיף עד שוא. פירש הרמב"ן שלא יעיד אפילו על דבר שלא יתחייב בו כלום כגון שיעיד אמר פלוני ליתן לזה מנה ולא קנו מידו זה נקרא שוא ודבר בטל וזה הרחקה יתירה, וציווי זה לא יתכן כי אם לישראל כי שארית ישראל לא יעשו עוולה ולא ידברו כזב אף על פי שאותו דבר כזב אינו מזיק לחבירו כלום ואולי לא היו האומות יכולין לעמוד בהרחקה יתירה זו על כן נאמר בראשונות עד שקר. ומה שנאמר עד לשון יחיד נראה לפרש שלא יעיד בו אפילו יחידי כי אף על פי שעד אחד אינו מחייבו ממון מכל מקום קם הוא לשבועה אבל כשמעיד על דבר שוא ובטל אינו קם אפילו לשבועה:

באחרונות אמר לא תתאוה, במקום לא תחמוד. תדע שהראב"ע כתב שהחמדה תאמר גם כן על גזילת דבר הנחמד כמו שנאמר (מיכה ב ב) וחמדו שדות וגזלו, וכתיב (יהושע ז כא) ואחמדם ואקחם. והסכים הרמב"ם על ידו לומר שאינו עובר בלא תחמוד עד שיקח החפץ אשר חמד אבל התאוה אינה אלא בלב בלבד, והשתדל הראב"ע לבאר שיש כח בהרגל האדם לעמוד על אזהרת החמדה והתאוה אפילו בלב וזה כשירגיל אדם עצמו במדת ההסתפקות במה שיש לו. ולפי דבריו אתי שפיר מה שנאמר לא תתאוה דוקא בדברות אחרונות השייכים לישראל לבד כי המה הורגלו במדת ההסתפקות בעוני מצרים והיה בידם לקבל ציווי זה לקיימו, אבל האומות שלא הורגלו במדת ההסתפקות איך יקבלו מצות לא תתאוה כי דבר זה אין ביד האדם לקיימו כי אין לבו מסור בידו אלא הרשעים הם ברשות לבם על כן לא הזכיר כי אם החמדה של גזילה. ומזה הטעם לא הזכיר בדברות ראשונות שדהו כי סתם קרקע אינה נגזלת ותמיד ברשות מרא קיימא אבל בענין התאוה שבלב הזכיר גם שדהו:

ומה שהזהיר באחרונות לשון חמדה באשת רעך ולשון תאוה בממונו, הכל לרבותא כי בממונו אסר אפילו התאוה שבלב וכל שכן חמדה של גזילה. אבל באשה אמרו חז"ל (יומא כט א) הרהורי עבירה קשים מעבירה ולפי זה נקט לא תחמוד לרבותא וכל שכן הרהור הלב, וענין חימוד של לקיחה באשה היינו מתוך שהוא חומדה הוא מסבב סיבות וגלגולים שבעלה יגרשה והוא יקחה וזהו ודאי אינו רע כל כך כמו ההרהור התמידי. בראשונות הקדים בית לאשה כי חמדת הבית היינו כדי ליקח אותו בגזילה דהיינו לאו שיש בו מעשה, אבל חמדת האשה אין הפירוש שלא יחמוד לגוזלה בעודה תחת חבירו דאם כן היינו לא תנאף אלא שלא יסבב לחבירו לגרשה כדי שיקח אותה הוא וזה אין בו מעשה כל כך, לכך אמר דרך לא זו אף זו לומר לא זו חמדת בית והון לגוזלם פשיטא שאסור אלא אפילו חמדת אשת רעהו לקחת אותה אחר שיגרשה גם זה אסור אף על פי שאין בו מעשה כל כך, אבל באחרונות שנקט לא תתאוה לרבותא שבממון אסור אפילו תאוה שבלב ובאשה הזכיר לא תחמוד אין כאן לא זו אף זו כי החמדה והתאוה שני ענינים ושקולים המה:

ומה שנאמר בדברות אחרונות לא תרצח ולא תנאף, וי"ו מוסיף על ענין ראשון לאסור לישראל אפילו ניאוף ביד להוציא זרע לבטלה כי ניאוף זה יש בו צד רציחה והיינו דם זרעיותיו, וכדמסיק במסכת נדה (יג ב) אמר רבי אלעזר מאי דכתיב (ישעיה א טו) ידיכם דמים מלאו אלו המנאפים ביד. וכן דרשו על זה פסוק שוחטי הילדים בנחלים (שם נז ה) אף על פי שדרשו (נדה יג א) שאל תקרי שוחטי אלא סוחטי מכל מקום קרי ביה נמי שוחטי ממש שהרי נאמר ידיכם דמים מלאו. וזו אזהרה לישראל דוקא כי קדושים המה מימות אבותיהם ויוכלו לעמוד בזה, אבל דברות ראשונות שנאמרו גם לאומות לא רצה להחמיר עליהם כל כך כי אולי לא יוכלו לעמוד בזה:

ולא תגנוב. רמז בו"ו העיטוף שלא זו ניאוף של אשת איש אלא אפילו ניאוף עם הפנויה אסור כי הוא נקרא מים גנובים כמו שנאמר (משלי ט יז) מים גנובים ימתקו ופסוק זה מדבר בניאוף פנויה:

ולא תענה ברעך עד שוא. וי"ו מוסיף על ענין ראשון לומר שלא זו גניבת נפשות או ממון שאסור אלא אפילו גניבת דעת אסור שלא ירבה אליו בתקרובת מנחה ויודע בו שאינו מקבל וכיוצא בזה וזה בכלל דיבור שוא ובטל ובחנם והוא בכלל לא תענה ברעך עד שוא:

ולא תחמוד. וי"ו מוסיף על ענין ראשון כי כל גונב דעת הבריות דרכו להחניף לו מצד שחומד את של חבירו ומצפה לקבל ממנו איזו הנאה בעבור זה ואם לא יחמוד למה יחניף לו בחנם, וכל אלו הרחקות יתירות שאין האומות היו יכולים לעמוד בהם על כן לא רצה ה' להחמיר עליהם כל כך וכולי האי ואולי ישמעו, וכאשר לא רצו האומות לקבל עליהם כלום אפילו הקלות חזר ואמרם לישראל עם כל החומרות הללו כי ידע בהם שחומרם זך ונקי ויכולין לעמוד בהם, ובזה הותרו כל הספיקות והשינוים: